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（图1略）
圆圈中各条直径当然是相等的。
AB=CD=EF=GH，以次类推。
但是，轻拉绳子两边，圆圈就变成了椭圆形，完美的平衡被破坏，各条直径乱七八糟。AB和EF等几条线段大大缩短了，其它线，尤其是CD，却增长了。
现在把数学问题用到历史中。为了便于阐述，我们先假定：
（图2略）
AB代表政治
CD代表商业
EF代表艺术
GH代表军事
图I是完美的平衡，所有线段都长短一致，对政治的关注与对商业、艺术和军事的关注基本相等。
但是图II（它不再是圆圈了）中，商业受到特别优待，代价是政治和艺术几乎完全销胜匿迹，而军事却略长了一些。
或者使GH（军事）成为最长的线段，而其它的都趋于消亡。
这就是解答许多历史问题的灵巧钥匙。
试一下希腊这把锁。
（图3略）
希腊人在短时间内还能够保持各行各业的完美圆圈。但是，不同政党之间的愚蠢争吵很快发展得不可收拾，无休无止的内战耗尽了国家的精力。士兵们不再是被用来抵御外来侵略保卫国家。他们受命向国人开火，因为这些人投了另一个候选人的票，或者想稍微变通一下征税法。
商业是这类圆圈中最重要的直线，它第一次感到步履维坚，最后完全走投无路，便逃向世界的其它地方了，因为生意在那里还比较稳定。
贫穷从前门进城，艺术便从后门溜走，从此不再露面。资本乘坐一百海里内最快的航船逃之夭夭。随着智力活动成为昂贵的奢侈品，好学校也维持不住了。最优秀的教师赶忙奔往罗马和亚历山大。
剩下的都是那些二等货色，靠传统和常规过活。
这都是因为政治的线段超出了比例，平衡的圆圈遭到破坏，其它线段，艺术、科学、哲学等等，都化为乌有。
如果把圆圈的问题应用于罗马，你就会发现，那条叫“政治权力”的特殊线段不停地增长，最后把所有别的都挤掉了，筑成共和国荣耀的圆圈消失了。剩下的只是一条细细的直线，这就是从成功到失败的最短距离。
再举一例。如果你把中世纪教会的历史纳入这个数学中，就会发现下面的情况。
最早的基督徒曾经极力保持行为圆圈的完美。也许他们忽略了科学的直径，不过既然他们对这个世界的生活不感兴趣，也就未必要求他们多么关心医药、物理或天文。他们只想为最后审判日做好准备，这个世界他们眼里仅仅是通往天堂的前厅，有用的学科对于他们当然没有什么吸引力了。
不过，基督的其它虔诚的追随者想方设法（尽管很不完备）要过好日子，他们勤奋刻苦，慈善宽厚，大仁大义，诚实正直。
然而，众多的小社团一结为一个大组织，新的世界性责任和义务便无情地破坏了原来精神圆圈的完美。他们的信仰是建筑在贫穷和无私的原则基础上的，半饥半饱的木匠和采石工人觉得遵守这样的信条还很容易。可是罗马皇位继承人、西方世界的大祭司和整个欧洲大陆最富有的财主却不能象波美拉尼亚或西班牙省镇的小执事那样过节衣缩食的生活。
用这一章的术语讲，代表“世俗”和“对外政策”的直径伸展得太长，代表“谦卑”、“贫穷”、“无私”和其它基督教基本美德的直线已经短得微乎其微了。
我们这一代人谈论到中世纪的愚昧时总带着一种同情感，知道他们生活在一团漆黑之中。的确，他们在教堂里点腊烛，在摇曳不定的烛光下安歇，没有几本书，连许多在如今小学和较高级精神病院里教授的东西茫然无知。不过，知识和智力是全然不同的两回事，这些优秀的自由民很聪明，建立了我们现在仍然采用的政治结构和社会结构。
他们在很长的时间里面对许许多多对教会的恶毒诋毁似乎束手无策，我们对他们的评价还是留点情吧。他们至少对自己的信念还是充满信心的，与他们认为错误的东西拼斗到底，把个人幸福和舒适置之度外，还常常在断头台上了解自己的一生。
除此之外的事情我们就无从得知了。
确实，在公元一千年中，很少有人为自己的思想而牺牲。不过这不是因为教会对异端的反感不如以前强烈，而是因为它有更重要的事情，顾不上在相对无害的持不同观点者身上费时间。
首先，在欧洲许多地方，奥丁神和其它异教神仍然是最高的统治。
其次，发生了一件很不妙的事，几乎使整个欧洲陷于崩溃。
这件“不妙的事”就是，突然出现了一个新先知，叫穆罕默德；一群人追随一个叫“真主”的新上帝，他们征服了西亚和北非。
我们孩提时读到的文学充满了“异教狗”和土耳其人残酷恶行的故事，这使我们留下印象，觉得耶稣和穆罕默德各自代表的思想是水火不相容的。
其实，他们俩是同一种族，说同一语系的方言，都把亚伯拉罕奉为始祖，都追溯到同一个在一千年前矗立于波斯湾畔的祖籍。
两位大师的追随者是近亲，却又怒目而视，虎视眈眈，他们之间的战争已经打了十二个世纪，到现在还没有平息。
现在再做“假如”的猜想是白费力气，但的确曾有一回，罗马的头号敌人麦加差一点接受了基督信仰。
阿拉伯人象所有沙漠居民一样，把大量时间用在放牧家畜上，因此有充裕时间讲行默祷。城里人可以在终年不断的乡镇市场的乐趣中陶冶灵魂，而牧民、渔民和农夫却过着孤门寡居的生活，缺少一种比热闹和刺激更实际的东西。
阿拉伯人期待拯救，还尝试过好几种宗教，不过他们明显偏爱于犹太教。这原因很简单，因为阿拉伯尽是犹太人。公元前十世纪，索罗门国王的大批臣民受不了沉重的赋税和统治者的专横，逃到阿拉伯。到了三百年后的前五八六年，尼布加尼撒征服了犹太人，大批犹太人第二次涌向南部的沙漠。
犹太教由此传播开来。犹太人只追求唯一真正的上帝，这与阿拉伯部落的志向和理想不谋而合。
稍微读过穆罕默德著作的人都知道，麦地尼特从《旧约》中借用了大量智慧之言。
以实玛利（与母亲海加一起埋葬在阿拉伯中部犹太神殿中的至圣所）的后裔并不敌视拿撒勒的年青改革者的思想。相反，耶稣说只有一个上帝，是所有人的慈父，他们也如饥似渴地相信了。他们不愿意接受拿撒勒木匠的追随者喋喋不休宣扬的所谓奇迹。至于复活，他们干脆就不相信。不过，他们还是倾向于新信仰，愿意给它以一席之地。
但是，穆罕默德在一伙狂热的基督徒手里吃了不少苦头。这伙人缺乏判断力，没等他开口就斥责他是骗子，是伪先知。这件事，加上迅速广为流传的认为基督徒是信仰三个而不是一个上帝的偶像崇拜者的说法，终于使沙漠居民对基督教嗤之以鼻，他们宣布自己热爱麦地那的赶骆驼人，因为他只讲一个上帝，而不是抬出三个神来混淆视听，一会儿合为一个上帝，一会儿又分为三个，全凭当时形势和主持教士的眼色行事。
这样，西方世界便有了两种宗教，都说自己信奉的是唯一真正的上帝，都把其它上帝贬为骗子。
这些观点上的冲突很容易引起战争。
六三二年，穆罕默德去世了。
在不到十二年的时间里，巴勒斯但、叙利亚、波斯和埃及相继被征服，大马士革成为大阿拉伯帝国的首都。
到六五六年底，北非沿海国家都把真主做为天国领袖，穆罕默德从麦加逃到麦地那后不到一个世纪，地中海变成了穆斯林的一个湖，欧洲和亚洲的一切交往都切断了，直到十七世纪末期，欧洲大陆一直处于包围之中。
在这种环境中，教会要把教旨传往东方是根本不可能的。它能希望做到的只是保住已经取得的成果，它选中了德国、巴尔干各国、俄国、丹麦、瑞典、挪威、波希米亚和匈牙利作为进行深入精神开发的肥沃土地，而且总的说来大获成功。偶尔也有象查理曼那样桀骛不驯的基督徒，心肠倒是不错，就是不够文明，用暴力手段屠杀了热爱自己的上帝而摈弃外来上帝的臣民。不过，基督传教士大都是受欢迎的，因为他们诚实正直，宣讲的东西简单明确，易于理解，为充满流血、殴斗和拦路抢劫的世界带来了秩序、整洁和仁慈。
前方捷报频传，但是教会帝国内部却祸起萧墙。（用本章开始时的数学概念讲）世俗的线段不断加长，最后教会的精神因素完全成为政治和经济思想的附庸；尽管罗马的权力日益膨胀，对以后十二个世纪的发展有举足轻重的影响，但是崩溃瓦解的迹象已经露头，老百姓和教士当中的智者商人也看出了这一点。
现在北方的新教徒把教堂看成一座房子，七天中有六天空荡无人，每星期日人们去听布道和唱赞美诗。我们知道一些教堂里有主教，偶尔主教们在城里开会，那时我们周团会有一群面孔和善的年老绅士，衣领都翻到后面。我们从报纸上得知他们已宣布提倡跳舞，或反对离婚。以后他们又回到家里，周围的生活依然是那样平静幸福，无忧无扰。
我们现在极少把这种教堂（即使它与我们形影不离）与我们的生死以及所有社会活动联在一起。
政府当然完全不同，它可以拿走我们的钱，如果觉得社会需要，还可以杀死我们。政府是我们的所有者，是主人，但通常所称的“教会”却是可以信赖的好朋友，即使与它发生争执也无关紧要。生争执也无关紧要。
但是在中世纪，情况迥然不同。那时的教会看得见摸得着，是非常活跃的组织，呼吸着，存在着，用种种政府做梦也想不到的办法决定着人的命运。第一批接受慷慨王储馈赠的土地、放弃古老的贫穷理想的教皇，很可能没有预见到这个政策会导致的结局。起先，由基督的忠诚追随者向圣徒彼得的后裔赠送一点凡物俗礼似乎有益无害、合情合理。但是仔细想一想，从约翰格罗斯到特莱比松，从迦太基到乌普拉沙，到处都有复杂的监督管理体制，有成千上万的秘书、牧师和抄写员，再加上各个部门数以百计的大小头目，他们都要住房、穿衣、吃饭。还有横穿整个大陆的信使的费用，今天去伦敦、明天去诺夫格勒的外交使臣的旅行费用，以及为了保持教皇信使与世俗王储在一起时衣着毫不逊色所必需的花费。
回顾一下教会本来代表什么，思考一下如果环境再好一些会出现什么情况，这种发展委实是极大的遗憾。罗马很快变成了巨大的国中之国，而宗教色彩却只剩下断编残简，教皇伊然成为世界独裁者，与他相比，古代皇帝的统治反倒显得宽仁大度了。
教会的成功所向披靡，但到了一定程度，便出现了一些障碍，遏制了它统治世界的野心。
主的真正精神又一次在民众中掀起轩然大波，这对于任何宗教组织都犹如眼中钉。
异教信徒已经司空见惯了。
可能引起人们反对的单一信仰统治一出现，也就有了持异见者。争执与教会同日问世，它使欧洲、�