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第二节
在物理学中，图像似乎与刚刚勾画的图像形成显著的对照。如果两个重物从绳子末端挂在滑轮上，那么我们只需要用若干较小的重物代替每一个，就能够说由较多数目的较小重物组成的重物将阻止另一个重物。如果重物由杠杆的不等臂悬吊，那么我们可以把它们的长度分成较小的相等部分，形成每一个臂和相应的重量的数之积：杠杆在较大乘积的一边失去平衡。因此，特定事实的记述容易从计数能够把分量项目分割的相等部分得到。这样一来，在该领域（比如说，杠杆的领域）的所有案例的差别仅仅在于有关特征的单位的数目，从而是如此相似，以致我们能够容易地通过指明从这些数推导或计算的结果的恰当法则而给出综合性的记述。为此理由，对于相当广泛的事实范围，综合性的叙述将是可能的，例如对于整个力学借助功的概念。相似地，自由落体或折射能够通过表上计数和记录的结果以最简单的形式记述，对这样的表幸运一瞥可能导致人们发现代替它们的简明的推导法则。空间、时间和强度的大小的分度可以依据任意小的相等部分借助计数（测量）实施。这能够使我们把可测量的东西视为由任意小的要素（“无穷小”）构成的，并把它们的进程还原为在无限小的时间间隔内的无限小的要素的行为。就此而言，我们能够以微分方程的形式建立普遍的计算法则。少数这样的方程在原则上足以描述力学、热力学、电动力学等等中的所有可以想像的事实。当然，这些方程的应用也能够在特例中呈现出显著的差异。在上面提到的生物学领域中，类似的步骤迄今还做不到。化学迄今仅仅部分地服从定量的处理，像化学这样的领域处在两个极端之间的中途。
第三节
如果定量的反应abc显现出与另一个hlm联系在一起，那么这个反应充其量能够被注意到，并用语言确定下来。对另一对定量反应def和nop而言，情况也一样。即使两个事实是接近的，要使它们在单一的表达下就范，一般而言也将是困难的。然而，我们要是越广泛地把定性的差异化归为定量的差异，则就范将是比较容易的。例如，把定性的化学分析的事实与物理化学中的相律比较一下。在较近的距离内，我们注意到，定量的调研只不过是定性的调研的特殊而相当简单的例子。例如，物理学与生理学相比达到较高的水平，仅仅因为这处理较简单和较容易的问题，因为这些问题更多地属于一个类型，以致用综合表达较为容易给出它们的答案，事实上，计数描述是可以想像的最简单的描述，并且能够借助预先掌握的数系，在不需要任何新发明的情况下，被推进到任何程度的精细而准确的区别。数系是一个具有不可穷竭的微妙性和广度的术语，迄今在明晰性上依然未被任何其他术语超越。而且，借助计数，任何数都能够从任何其他数推出，这恰恰是使数如此极其适合于描述相依的东西。特定的依赖仅仅由于可计数的东西而相互不同，考虑到这一点，我们同样达到更普遍的综合的相依法则。使用定量特征的这些明显的好处，必定激励我们考察，为了把所有调研逐渐地简化为定量的调研，对于可以与定性方面相关联的定量方面是否可能。于是，颜色的质变为折射率和波长，声音变成频率等等。它们中的一切都是定量特征。
第四节
而且，定量调研具有优于定性调研的特殊长处，在这里我们希望确定在感觉中给出的它们相互依赖的要素，这是我们身体外部的依赖，因此，在最广泛的涵义上属于物理学。为了使这些依赖变得纯粹，我们必须尽可能地排除观察者的影响和在他内部的所有要素的影响。通过下述事实可以达到这一点：所有测量仅仅在于比较什么在质上是相像的，在于注意什么是相等的和什么是不相等的，从而把诸如部分地依赖于观察主体的感性知觉的质从作用中除掉。内省心理学起初无法消除定性特征，测量概念迄今在那里几乎没有任何意义，但是通过把它建立在生理学上并间接地建立在物理学上，心理学家可以在未来改变这种事态。
第五节
让我们现在尝试从心理学的角度阐明，数的观念和概念如何起源于直接的或间接的生物学的需要。比如说，还没有获得计数概念的两三岁之间的儿童立即注意到，是否在未观察的时刻有人从一小群同类硬币或玩具中取走某个东西，或者是否把某个东西添入其中。甚至动物无疑受到生命需要的驱使，例如就内容辨认小群相同的果实，偏爱较大的而不是较小的。数概念的起源正在于精炼这种分辨能力的需要。在不丧失对成员的一般观察和个体性的情况下，能够把越多的成员收集到群中，我们将越多地重视这种能力。首先，儿童驾驭2，3，或4的群。在空间和时间中的邻近可能有助于形成群，而空时位置的差异可能制约区分成员的过程。第一个数的观念这样出现了，按照环境的影响具有或没有名称。这些观念通过视觉、触觉和听觉，在最后的情况下通过注意到节律而得以发展。由于在对象变化时我们用数的观念工作，我们利用数的名称被导向独立于对象本性的反应的一贯活动之观点，即被导向数的概念。为了得到相当大的群的数的明晰观念，我们把它们排列到清楚有序的、已经熟悉的部分之中。这一形成史具体体现在亚述人、埃及人、墨西哥人、罗马人和其他种族的数的符号中。我们的扑克牌和骨牌也证明了这个历史。因此，我们必须通过用清楚有序的和细分的方式描述对象群本身，带领初级学校的孩子沿着全体原始人自发地选定的同一道路前进。不过，这种维持一个群中成员的数目的明晰观点的策略，并没有把我们带到远处。
第六节
撇开这种使群的成员有序化的策略不谈，另一种方法会被人接受：人们把被审视的群的每一个成员分配给我们十分熟悉的对象群的成员。原始人利用他们的手指头，有时也利用脚趾，作为这第二个群。在儿时，我们也使用这种原始的手段，通过检查这些十分熟悉的对象，以增强我们的数的观念。如果此时在协调的过程中我们叫出手指的名字，而且我们完全非故意地、从纯粹的习惯出发，总是以相同的秩序贯穿它们，那么手指的这些名称通过频繁的使用失去它们原有的意义，变成数词。由于固定的秩序，最后的名字决定了全体的内容，即被协调的、被计数的群的成员的数目。这就是数词的起源，人类文化史表明了这一点。当人们数朋友或敌人的数目时，或者分配战争的劫掠品或打猎的全部猎物等等时，往往足以出现这种发展的需要和诱因。
第七节
借助小小的和明显的策略，能够把该方法或协调给予不受限制的应用范围，即通过把十的群算作较高的群的成果，把十个这些群算作更高的群的成员，如此等等以至无穷。同样地，能够把任何成员看作是十个较小的相等成员的群，当计数（测量）像长度这样的无限可分的量时，这是一个明显的步骤，但却是能够设想在任何地方起作用的步骤。
第八节
设群A和B的每一个都是由相同的成员组成的。把B的成员分配给A的每一个成员：若这穷竭二群，则我们说它们具有相同的容量，或更简明地说它们是相等的。若在A未被穷竭时而B被穷竭，则A的容量大于B的容量。我们把数命名为我们藉以就容量决定相似的成员的群和彼此区分它们的概念。在数概念代替数观念的地方，对于即时的直觉不存在进一步的需要，而仅仅对潜在的直觉有进一步的需要。数概念能让我们使群的容量至少变成间接地直观的，这无论在何处可能是必要的，我们要准备作出努力。是否必须把基数或序数看作心理上或逻辑上原始的需要，我们在这里不关心这个学术上的争论。在任何情况下，都不可能选择在事件后形成的这些系统之一，因为它对文化的发展来说毫无例外地是决定性的。小的数目的名字无疑可以在没有排序原则的情况下产生。然而，在数超过了直接直觉的地方，这样的原则对于形成数的概念是必不可少的，即使未明确地提到它。如果我们计数是恒等的对象、或者对我们而言被认为恒等的对象，那么我们把作为差异记号的数词附着于在其他方面几乎无法区分的对象上；但是，倘若这些名称还不是简单的和十分熟悉的排序记号系统的一部分，那么我们将立即再次失去对它们的控制。正是排序原则，由于每一个数藉以潜在地包含每一个在先的数的观念，同时明确地揭示出它在系统中两个确定的数之间的位置，因此它与通常的名字相比有助于数的巨大优越性。每一个按字母顺序的登记、书的页码、每一个按数目排列的存货清单等等，都清楚地给我们以迅速取向的顺序之值的印象。
第九节
数常常被称为“人类精神的自由创造”。在这个短语中所表达的对人类精神的赞美是足够自然的，因为人类精神给出算术的庄严结构。不过，如果我们追踪一下这一创造的本能的开端，并考虑一下产生对它的需要的环境，那么对理解它会有帮助得多。也许这将导致我们洞察到，在这个领域中的头一批形成物是由生物的和物质的条件无意识地推动的，直到它们已存在并经常证明有用处，它的价值才能够被正确评价。只是在理智受到这样的相当简单的形成物训练后，它才能够逐渐地产生出比较自由和有意识的发明，以迅速地适应目前的需要。
第十节
社会交流和贸易、买和卖，都要求算术的发展。原始文化使用简单的器具或计算机器便利它的计算，例如罗马的算盘或中国的算筹，这经由俄国变得为人所知，并在我们的初级学校生根。所有这些器具使对象符号化，以像借助小的可动物体、小钮扣、小球或其他标记计数；这些标记而非重物，是人们用以操作的项目。数十、数百等等的群被特殊的标记代表，这些特殊标记具有在器具中赋予它们的特殊器件。如果我们采取在某种程度上比较自由和比较广泛的器械（或辅助器具）的概念现，那么我们认识到，我们的阿拉伯数字或印度数字及其清楚的十进记数法——在这里碰巧无代表的群用零表示——本身就是计算机器，是能够在任何时候借助铅笔和纸建造的计算机器。这进一步减轻了我们的注意，因为数字把我们从计数群的每