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接着，人们又用了各种天文学方法和物理学方法，继两位先驱之后做了一系列独立的测量。目前，光在真空中的速度（常用字母c来表示）的最令人满意的数值是
c=299；776km/s
或
c=186；300英里/秒
在量度天文学上的距离时，数字一般都是非常大的，如果用英里或公里来表示，可能要写满一页纸，这时，用速度极高的光速作为标准就很便当了。因此，天文学家说某颗星离我们５“光年”远，就象我们说某地乘火车需要５小时一样。由于一年合31558000（录入者：应为31556926）秒，一光年就等于31558000X299776=9；460；000；000；000公里或5；879；000；000；000英里。采用“光年”这个词表示距离，实际上已把时间看作一种尺度，并用时间单位来量度空间了。同样，我们也可以把这种表示法反过来，得到“光英里”这个名称，意思是指光线走过１英里路所需要的时间。把上述数值代入，得出1光英里等于0。0000054秒。同理，１光英尺等于0。0000000011秒。这就回答了我们在上一节提出的那个四维正方体的问题。如果这个正方体的三个空间尺度都是１英尺，那么时间间隔就应该是0。0000000011秒。如果这个正方体存在了一个月的时间，那就应把它看作一根在时间方向上比其它方向长得非常多的四维棒了。
3、四维空间的距离
在解决了空间轴和时间轴上的单位如何进行比较的问题之后，我们现在可以问 ： 在四维时空世界中两点间的距离应该如何理解？要记住，现在每一个点都是空间和时间的结合，它对应于通常所说的“一个事件”。为了弄清这一点，让我们看看下面的两个事件。
事件I：1945年7月28日上午9点21分，纽约市五马路和第五十街交叉处一层楼的一家银行被劫。
事件II： 同一天上午9点36分，一架军用飞机在雾中撞在纽约第三十四街和五、六马路之间的帝国大厦第七十九层楼的墙上。
这两个事件，在空间上南北相隔十六条街，东西相隔半条街，上下相隔七十八层楼 ； 在时间上相隔十五分钟。很明显，表达这两个事件的空间间隔不一定要注意街道的号数和楼的层数，因为我们可用大家熟知的毕达哥拉斯定理，把两个空间点的坐标距离的平方和开方，变成一个直接的距离。为此，必须先把各个数据化成相同的单位，比如说用英尺表达出来。如果相邻两街南北相距200 英尺，东西相距800英尺，每层楼平均高12英尺，这样，三个坐标距离是南北3200英尺，东西400英尺，上下936英尺，用毕达哥拉斯定理可得出两个出事地点之间的直接距离为
sqrt（3200^2＋400^2＋936^2）=3360英尺
如果把时间自作第四个坐标的概念确实有实际意义，我们就能把空间距离3360英尺和时间距离15分钟结合起来，得出一个表示两事件的四维距离的数来。
按照爱因斯坦（Aibert Einstm）原来的想法，四维空间的距离，实际上只要把毕达哥拉斯定埋进行简单推广便可得到，这个距离在各个事件的物理关系中所起的作用 ， 比单独空间距离和时间间隔所起的作用更为基本。
要把空间和时间结合起来，当然要把各个数据用同一种单位表达出来，正如街道间隔和楼房高度都用英尺表示一样，前面我们已经看到，只要用光速作为变换因子 ，这一点就很容易办到了。这样，5分钟的时间间隔就变成800，000，000，OO－－“ 光英尺 “ 。如果对毕达哥拉斯定理作简单的推广， 即定义四维距离是四个坐标距离（三个空间的和一个时间的）的平方和的平方根，我们实际上就取消了空间和时间的一切区别，承认了空间和时间可以互相转换。
然而，任何人－－包括了不起的爱因斯坦在内－－也不能把一根尺子用布遮上，挥动一下魔棒，再念念“时间来，空间去，变”的咒语，就变出一只亮闪闪的新牌子闹钟来！
因此，我们在使用毕达哥拉斯公式将时空结合成一体时，应该采用某种不寻常的办法，以便保留它们的某些本质区别。
按照爱因斯坦的看法，在推广的毕达哥拉斯定理的数字表式中，空间距离与时间间隔的物理区别可以用时间坐标的平方项前的负号来加以强调。这样，两个事件的四维距离可以表示为三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后开平方。当然 ，首先得将时间坐标化成空间单位。
因此，银行抢劫案和飞机失事案之间的四维距离应该这样计算：
sqrt（3200^2＋400^2＋936^2…800000000000000^2） 。
第四项与前三项相比是非常大的，这是因为这个例子取自“日常生活”， 而用日常生活的标准来衡量时，时间的合理单位真是太小了。如果我们所考虑的不是纽约市内发生的两个事件，而用一个发生在宇宙中的事件作为例子，就能得到大小相当的数字了 ， 例如，第一个事件是1946年7月1日上午9分整在比基尼岛（太平洋西部的一个珊瑚岛）上有一颗原子弹爆炸，第三个事件是在同一天上午9点10 分有一块陨石落到火星表面；这样，时间间隔为540000000000光英尺，而空间距离为650，000000000英尺，两者大小相当。
在这个例子中，两个事件的四维距离是：
sqrt（（65×1O^10）^2…（54×10^10）^2）英尺=36×10^10英尺，在数上与纯空间距离和纯时间间隔都很不相同了。
当然，大概有人会反对这种似乎不太合理的几何学。为什么对其中的一个坐标不象对其他三个那样一视同仁呢？千万不要忘记，任何人为的描绘物理世界的数学系统都必须符合实际情况；如果空间和时间在它们的四维结合里的表现确实有所不同 ，那么，四维几何学的定律当然也要按它们的本来面目去塑造。而且，还有一个简单的办法，可以使爱因斯坦时空几何公式看来跟学校里所教的古老的欧几里得几何一样美好。这个方子是德国数学家闵科夫斯基（Hermann Minkovskij）提出的，做法是将第四个坐标看作纯虚数。你大概还记得在本书第二章讲述，一个普通的数字乘以sqrt（…1）就成一个虚数；我们还讲过，应用虚数来解几何问题是很方便的。
根据闵科夫斯基的提法，时间这第四个坐标不但要用空间单位表示，并且还要乘以sqrt（…1）。这样，原来那个例子中的四坐标就成了：
第一坐标：3200 英尺， 第二坐标：400 英尺，
第三坐标：936 英尺 ， 第四坐标：8×10＾11光英尺。
现在，我们可以定义四维距离是所有四个坐标距离的平方和的平方根了，因为虚数的平方总是负数，所以采用闵科夫斯基坐标的普通毕达哥拉斯表式在数学上是和采用爱因斯坦坐标时似乎不太合理的表达式等价的。
有一个故事，说的是一个患关节炎的老人，他问自己的朋友是怎样避免这种病的。
回答是：“我这一辈子每天早上都来个冷水浴。”
“噢，前者喊道，“那你是改患了冷水浴病喽！”
如果你不喜欢前面那个似乎患了关节炎的毕达哥拉斯定理，那么，你不妨把它改成虚时间坐标这种冷水浴病。
由于在时空世界里第四个坐标是虚数，就必然会出现两种在物理上有所不同的四维距离。
在上面那个纽约事件的例子中，两个事件之间的空间距离比时间间隔小 （用同样的单位），毕达哥拉斯定理中根号内数是负的，因此，我们所得到的是虚的四维距离；在后一个例子中，时间间隔比空间距离小，这样，根号内得到的是正数，自然意味着两个事件之间存在着实的四维距离。
如上所述，既然空间距离被看作实数，而时间间隔被看作虚数，我们就可以说：实四维距离同普通空间距离的关系比较密切；而虚四维距离则比较接近于时间间隔。在采用闵科夫斯基的术语时，前一种四维距离称为空距，后一种称为时距。
在下一章里，我们将看到空距可以转变为正规的空间距离，时距也可以转变为正规的时间间隔。然而，这两者一个是实数，一个是虚数，这个事实就给时空互变造成了不可逾越的障碍，因此，一根尺子不能变成一座时钟，一座时钟也不能变一根尺子。
1。 时空的相互转变
尽管数学在把时间和空间在四维世界中结合起来的时候，并没有完全消除这两者的差别，但可以看出，这两个概念确实极其相似。对于这一点，爱因斯坦以前的物理学是不甚了解的。事实上，各个事件之间的空间距离和时间间隔，应该认为仅仅是这些事件之间的基本四维距离在空间轴和时间轴上的投影（大家注意这句话，我觉得这话包含的意义非常深――笨猪），因此，旋转四维坐标系，便可以使距离部分地转变为时间，或使时间转变为距离。不过，四维时空坐标系的旋转又是什么意思呢 ？
我们先来看看图34a中由两个空间坐标所组成的坐标系。假设有两个相距为L的固定点。把这段距离投影在坐轴上，这两个点沿第一根轴的方向相距a英尺，沿第二根轴的方向相距b英尺。如果把坐标系旋转一个角度（图34）时，同一个距离在两根新坐标轴上的投影就与刚才不同，成为a’和b’了。不过，根据毕达哥拉斯定理，两个投影的平方和的平方根在这种情况下的值是一样的，因为这个数所表示的是那两个点间的真实距离，当然不会因坐标系的旋转而改变，也就是说
sqrt（a^2＋b^2）=sqrt（a’^2＋b’^2）
所以我们说，尽管坐标的数值是不定的，它们取决于所选择的坐标系，然而它们的平方和的平方根则与坐标系的选择无关。
现在再来考虑有一根距离轴和一根时间轴的坐标系。这时，两个固定点变成了两个事件，而两根轴上的投影则分别表示空间距离和时间间隔。如果这两个事件就是上一节所讲到银行抢劫案和飞机失事案，我们可以把这个例子画成一张图（图35a），它很类似于图34a，不过图34a上是两根空间距离轴 。那么，怎样才能旋转坐标轴呢？答案是颇出乎意料、甚至令人愕然的：你要想旋转时空坐标系，那就请上汽车吧。
好，假定我们真的在9月28日的那个多事之晨坐上了一辆沿五马路行驶的汽车。如果我们能否看到这些事件仅取决于距离，那么，从功利主义的观点出发，我们最关心的就是被劫的银行和飞机失事的地点离汽车有多远。
现在看看图35a，汽车的时空线和两个事件都画在在上面，你立刻会注意到，从汽车上观装到的距离，与从其他地方（比如站在街口的警察）所观察到的不相同。因为汽车是沿着马路行驶的，速度比方说为每三分钟过一个路口（这在繁忙的纽约交通中是司空见惯的），所以从汽车上看，两个事件的空间距离就变短了。事实上，由于在上午9点21分汽车正穿过第五十二街，这时离发生抢劫案的地点有两个路口之远；在飞机失事时（上午9点36分），汽车在第四十七街口，距出事地点有十四个路口之远。因此，在测量对汽车而言的