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我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分别到来（比方说，甲在人马座的方向，乙在双子座的方向）。在某个按照宇宙标准时间所约好了的关键时刻（比方说，宇宙历767年8月12日9点整，听起来怎么像银英传，呵呵），两人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么，正如我们已经讨论过的，因为要保持总体上的守恒，这两个自旋必定相反，不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上测量到A的自旋为正（＋），那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负（－）！
换句话说，A和B——不论它们相隔多么遥远——看起来似乎总是如同约好了那样，当A是＋的时候B必定是－，它们的合作率是100％！在统计学上，拿稍微正式一点的术语来说，（A＋，B－）的相关性（correlation）是100％，也就是1。我们需要熟悉一下相关性这个概念，它是表示合作程度的一个变量，假如A和B每次都合作，比如A是＋时B总是－，那么相关性就达到最大值1，反过来，假如B每次都不和A合作，每当A是＋是B偏偏也非要是＋，那么（A＋，B－）的相关率就达到最小值－1。当然这时候从另一个角度看，（A＋，B＋）的相关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗，它的取值和A毫无关系，显得完全随机，那么B就和A并不相关，相关性是0。
在EPR里，不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定，最后的结果是肯定的：在同一个方向上要么是（A＋，B－），要么是（A－，B＋），相关性是 1。但是，这是在同一方向上，假设在不同方向上呢？假设甲沿着x轴方向测量A的自旋，乙沿着y轴方向测量B，其结果的相关率会是如何呢？冥冥中一丝第六感告诉我们，决定命运的时刻就要到来了。
实际上我们生活在一个3维空间，可以在3个方向上进行观测，我们把这3个方向假设为x，y，z。它们并不一定需要互相垂直，任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的方向无非是正负两种可能，那么在3个方向上无非总共是8种可能（把每个方向想像成一根爻，那么组合结果无非是8个卦）。
x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ …
＋ … ＋
＋ … …
… ＋ ＋
… ＋ …
… … ＋
… … …
对于A来说有8种可能，那么对于A和B总体来说呢？显然也是8种可能，因为我们一旦观测了A，B也就确定了。如果A是（＋，＋，－），那么因为要守恒，B一定是（－，－，＋）。现在让我们假设量子论是错误的，A和B的观测结果在分离时便一早注定，我们无法预测，只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系，我们假设这个隐变量是H，它可以取值1－8，分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设，对应于每一种可能性，其出现的概率分别是 N1，N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总表：
Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率
＋ ＋ ＋ … … … N1
＋ ＋ … … … ＋ N2
＋ … ＋ … ＋ … N3
＋ … … … ＋ ＋ N4
… ＋ ＋ ＋ … … N5
… ＋ … ＋ … ＋ N6
… … ＋ ＋ ＋ … N7
… … … ＋ ＋ ＋ N8
上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到A在x，y，z三个方向上的自旋都为＋，而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为－，这种结果出现的可能性是N1。因为观测结果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，这个各位都可以理解吧？
现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方向，在这个方向上，（Ax＋，Bx－）的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合两种情况之一：当在x方向上A为＋而B同时为－，或者A不为＋而B也同时不为－，如果这样，它便符合我们的要求，标志着对（Ax＋， Bx－）的合作态度，于是我们就加上相应的概率。相反，如果在x上A为＋而B也同时为＋，或者A为－而B也为－，这是对（Ax＋，Bx－）组合的一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。
从上表可以看出，前4种可能都是Ax为＋而Bx同时为－，后4种可能都是Ax不为＋而Bx也不为－，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所以（Ax＋，Bx－）的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我们要计算（Ax＋，Bx＋）的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是－N1－N2－…－N8＝－1。
接下来我们要走得远一点，A在x方向上为＋，而B在y方向上为＋，这两个观测结果的相关性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合Ax为＋以及By为＋，或者Ax不为＋以及By也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去。让我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用Pxy来表示：
Pxy＝－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8
嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算Pxz，也就是Ax为＋同时Bz为＋的相关：
Pxz＝－N1＋N2－N3＋N4＋N5－N6＋N7－N8
再来，这次是Pzy，也就是Az为＋且By为＋：
Pzy＝－N1＋N2＋N3－N4－N5＋N6＋N7－N8
好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把Pxz减去Pzy再取绝对值：
｜Pxz－Pzy｜＝｜－2N3＋2N4＋2N5－2N6｜＝2 ｜N3＋N4－N5－N6｜
这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值，我们有关系式｜x－y｜≤｜x｜＋｜y｜，所以套用到上面的式子里，我们有：
｜Pxz－Pzy｜＝2 ｜N3＋N4－N5－N6｜≤2（｜N3＋N4｜＋｜N5＋N6｜）
因为所有的概率都不为负数，所以2（｜N3＋N4｜＋｜N5＋N6｜）＝2（N3＋N4＋N5＋N6）。最后，我们还记得N1＋N2＋＋N8＝1，所以我们可以从上式中凑一个1出来：
2（N3＋N4＋N5＋N6）＝1＋（－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8）
看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是Pxy吗？所以我们得到最终的结果：
｜Pxz－Pzy｜≤1＋Pxy
恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的，就是名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这个宇宙的终极命运作出最后的判决。
（我们的证明当然是简化了的，隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。即使如此，只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来，各位有兴趣的可以动手一试。）
第十一章 上帝的判决
一
｜Pxz－Pzy｜≤1＋Pxy
嗯，这个不等式看上去普普通通，似乎不见得有什么神奇的魔力，更不用说对于我们宇宙的本质作出终极的裁决。它真的有这样的威力吗？
我们还是先来看看，贝尔不等式究竟意味着什么。我们在上一章已经描述过了，Pxy代表了A粒子在x方向上为＋，而同时B粒子在y方向上亦为＋这两个事件的相关性。相关性是一种合作程度的体现（不管是双方出奇地一致还是出奇地不一致都意味着合作程度很高），而合作则需要双方都了解对方的情况，这样才能够有效地协调。在隐变量理论中，我们对于两个粒子的描述是符合常识的：无论观察与否，两个粒子始终存在于客观现实之内，它们的状态从分裂的一霎那起就都是确定无疑的。假如我们禁止宇宙中有超越光速的信号传播，那么理论上当我们同时观察两个粒子的时候，它们之间无法交换任何信息，它们所能达到的最大协作程度仅仅限于经典世界所给出的极限。这个极限，也就是我们用经典方法推导出来的贝尔不等式。
如果世界的本质是经典的，具体地说，如果我们的世界同时满足：1。定域的，也就是没有超光速信号的传播。2。实在的，也就是说，存在着一个独立于我们观察的外部世界。那么我们任意取3个方向观测A和B的自旋，它们所表现出来的协作程度必定要受限贝尔不等式之内。也就是说，假如上帝是爱因斯坦所想象的那个不掷骰子的慈祥的“老头子”，那么贝尔不等式就是他给这个宇宙所定下的神圣的束缚。不管我们的观测方向是怎么取的，在EPR实验中的两个粒子决不可能冒犯他老人家的尊严，而胆敢突破这一禁区。事实上，这不是敢不敢的问题，而是两个经典粒子在逻辑上根本不具有这样的能力：它们之间既然无法交换信号，就决不能表现得亲密无间。
但是，量子论的预言就不同了！贝尔证明，在量子论中，只要我们把a和b之间的夹角θ取得足够小，则贝尔不等式是可以被突破的！具体的证明需要用到略微复杂一点的物理和数学知识，我在这里略过不谈了，但请诸位相信我，在一个量子主宰的世界里，A和B两粒子在相隔非常遥远的情况下，在不同方向上仍然可以表现出很高的协作程度，以致于贝尔不等式不成立。这在经典图景中是决不可能发生的。
我们这样来想象EPR实验：有两个罪犯抢劫了银行之后从犯罪现场飞也似地逃命，但他们慌不择路，两个人沿着相反的两个方向逃跑，结果于同一时刻在马路的两头被守候的警察分别抓获。现在我们来录取他们的口供，假设警察甲问罪犯A：“你是带头的那个吗？”A的回答无非是“是”，或者“不是”。在马路另一头，如果警察乙问罪犯B同一个问题：“你是带头的那个吗？”那么B的回答必定与A相反，因为大哥只能有1个，不是A带着B就是B带着A。两个警察问的问题在“同一方向”上，知道了A的答案，就等于知道了B的答案，他们的答案，100％地不同，协作率100％。在这点上，无论是经典世界还是量子世界都是一样的。
但是，回到经典世界里，假如两个警察问的是不同角度的问题，比如说问A：“你需要自己聘请律师吗？”问B：“你现在要喝水吗？”这是两个彼此无关的问题（在不同的方向上），A可能回答“要”或者“不要”，但这应该对B怎样回答问题毫无关系，因为B和A理论上已经失去了联系，B不可能按照A的行动来斟酌自己的答案。
不过，这只是经典世界里的罪犯，要是我们有两个“量子罪犯”，那可就不同了。当A决定聘请律师的时候，B就会有更大的可能性想要喝水，反之亦然！看起来，似乎是A和B之间有一种神奇的心灵感应，使得他们即使面临不同的质询时，仍然回答得出奇地一致！量子世界的Bonnie&Clyde，即使他们相隔万里，仍然合作无间，按照哥本哈根解释，这是因为在具体地回答问题前，两个人根本不存在于“实在”之中，而是合为一体，按照波函数弥漫。用薛定谔发明的术语来说，在观测之前，两个人（粒子）处在一种“纠缠”（entanglement）的状态，他们是一个整体，具有一种“不可分离性” （inseparability）！
这样说当然是简单化的，具体的条件还是我们的贝尔不等式。总而言之，如果世界是经典的，那