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也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说，a， 其实就是说，你搭乘I号线从A地出发，期间转乘II号线，最后又回到A地下车。因为是乘 法，所以它表示“I号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是，情况还不是那么简单， 因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的“总和”。 如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表 示我搭I号线从A地出发，然后转乘II号线，又回到A地下车的收费情况的总和。那么，我 们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭I号线从A地到B地，然 后在B地转乘II号线，再从B地回到A地。此外，还有一种办法，就是我们在A地上了I号线 ，随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线，同样在原地下车。这虽然听起来很不明 智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总 和。 现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘I号线从A地到B地，车费应该 是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字 ，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从B地转乘II号线回到了A地，这 里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4＝8 。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来，又上 II号线再下来，这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列 的两个数字的乘积，1×1＝1。那么，我们的最终答案，a，就等于这两种可能的叠加，也 就是说，a＝2×4＋1×1＝9。因为没有第三种可能性了。 同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线，从A地出发最终抵达B地的收费情 况总和。这同样有两种办法可以做到：先在A地上I号线随即下车，然后从A地坐II号线去B 地。收费分别是1块（矩阵I第一行第一列）和3块（矩阵II第一行第二列），所以1×3＝3 。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地，收费2块（矩阵I第一行第二列），然后在B地 转II号线原地上下，收费1块（矩阵II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最终答案：b ＝1×3＋2×1＝5。 大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3 ×3＋1×1＝10。所以： ┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛ 很抱歉让大家如此痛苦不堪，不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌 生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才 是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我 们的基础吧，让我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么 乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍II×I： ┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛ 我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什 么，现在我们是先乘搭II号线，然后转I号线了，所以我们可以从A地上II号线，然后下来 。再上I号线，然后又下来。对应的是1×1。另外，我们可以坐II号线去B地，在B地转I号 线回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。 喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝10，不过我还记得 ，刚才我们的答案说a＝9。各位把笔记本往回翻几页，看看我有没有记错？嗯，虽然大家 都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2×4＋1×1＝9。看来是我算错了，我 们再算一遍，这次可要打起精神了：a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是：我搭II 号线在A地上车A地下车（矩阵II第一行第一列），1块。然后转I号线同样在A地上车A地下 车（矩阵I第一行第一列），也是1块。1×1＝1。还有一种可能是，我搭II号线在A地上车 B地下车（矩阵II第一行第二列），3块。然后在B地转I号线从B地回到A地（矩阵II第二行 第一列），3块。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。 嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝1＋8＝9 。那么，那么……谁错了？哈哈，海森堡错了，他这次可丢脸了，他发明了一种什么样的 表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：I×II ≠ II×I。 我们不妨把结果整个算出来：
┏ ┓
┃ 9 5┃
I×II＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛
┏ ┓
┃ 10 5┃
II×I＝ ┃ 7 9┃
┗ ┛ 的确，I×II ≠ II×I。这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创 意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉。但是，慢着，海森堡还有话要说，
先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。 大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我 们已经说过了，物理学，必须从唯一可以被实践的数据出发，而不是靠想象和常识习惯。 我们要学会依赖于数学，而不是日常语言，因为只有数学才具有唯一的意义，才能告诉我 们唯一的真实。我们必须认识到这一点：数学怎么说，我们就得接受什么。如果数学说I ×II ≠ II×I，那么我们就得这么认为，哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们，我们也 不能改变这一立场。何况，如果仔细审查这里面的意义，也并没有太大的荒谬：先搭乘I 号线，再转II号线，这和先搭乘II号线，再转I号线，导致的结果可能是不同的，有什么 问题吗？ 好吧，有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是F＝ma，还是F＝am呢？ 海森堡冷冷地说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的 任何奇特性质过分大惊小怪，那会让你发疯的。量子的规则，并不一定要受到乘法交换率 的束缚。 他无法做更多的口舌之争了，1925年夏天，他被一场热病所感染，不得不离开哥廷根，到 北海的一个小岛赫尔格兰（Helgoland）去休养。但是他的大脑没有停滞，在远离喧嚣的 小岛上，海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且，他很快就 获得了成功：事实上，只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去，把玻尔和索末菲 旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程，海森堡可以自然而然地推导 出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出，不再需要 像玻尔的旧模型那样，强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用！数学解 释一切，我们的想象是靠不住的。 虽然，这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么，无论对于海森堡，还是当时 的所有人来说，都还仍然是一个谜题，但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从 这时候起，量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进，每一步都那样雄伟壮丽，激起滔天 的巨浪和美丽的浪花。接下来的3年是梦幻般的3年，是物理史上难以想象的3年，理论物 理的黄金年代，终于要放射出它最耀眼的光辉，把整个20世纪都装点得神圣起来。 海森堡后来在写给好友范德沃登的信中回忆道，当他在那个石头小岛上的时候，有一晚忽 然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能 量。求解并不容易，他做了一个通宵，但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上 一个山崖去看日出，同时感到自己非常幸运。 是的，曙光已经出现，太阳正从海平线上冉冉升起，万道霞光染红了海面和空中的云彩， 在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上，海森堡面对着壮观的日出景象，他脚下 碧海潮生，一直延伸到无穷无尽的远方。是的，他知道，this is the moment，他已经作 出生命中最重要的突破，而物理学的黎明也终于到来。
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饭后闲话：矩阵 我们已经看到，海森堡发明了这种奇特的表格，I×II ≠ II×I，连他自己都没把握确定 这是个什么怪物。当他结束养病，回到哥廷根后，就把论文草稿送给老师波恩，让他评论 评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊，原来这不是什么新鲜东西，正是线性代数里学到 的“矩阵”！回溯历史，这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur Cayley 所发明，不过当时不叫“矩阵”而叫做“行列式”（determinant，这个字后来变成了另 外一个意思，虽然还是和矩阵关系很紧密）。发明矩阵最初的目的，是简洁地来求解某些 微分方程组（事实上直到今天，大学线性代数课还是主要解决这个问题）。但海森堡对此 毫不知情，他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的 助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论，进一步完善了量子力学，我们 很快就要谈到。 数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候，自然想不到它后来会在量子 论的发展中起到关键作用。同样，黎曼创立黎曼几何的时候，又怎会料到他已经给爱因斯 坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。 乔治？盖莫夫在那本受欢迎的老科普书《从一到无穷大》（One； Two； Three…Infinity） 里说，目前数学还有一个大分支没有派上用场（除了智力体操的用处之外），那就是数论 。古老的数论领域里已经有许多难题被解开，比如四色问题，费马大定理。也有比如著名 的哥德巴赫猜想，至今悬而未决。天知道，这些理论和思路是不是在将来会给某个物理或 者化学理论开道，打造出一片全新的天地来。 上帝掷骰子吗——量子物理史话（5…4） 版权所有：castor_v_pollux 原作 提交时间：2003…10…14 00：28：18 第五章 曙光 四 从赫尔格兰回来后，海森堡找到波恩，请求允许他离开哥廷根一阵，去剑桥讲课。同时， 他也把自己的论文给了波恩过目，问他有没有发表的价值。波恩显然被海森堡的想法给迷 住了，正如他后来回忆的那样：“我对此着了迷……海森堡的思想给我留下了深刻的印象 ，对于我们一直追求的那个体系来说，这是一次伟大的突破。” 于是当海森堡去到英国 讲学的时候，波恩就把他的这篇论文寄给了《物理学杂志》（Zeitschrift fur Physik） ；并于7月29日发表。这无疑标志着新生的量子力学在公众面前的首次亮相。 但海森堡古怪的表格乘法无疑也让波恩困扰，他在7月15日写给爱因斯坦的信中说：“海 森堡新的工作看起来有点神秘莫测，不过无疑是很深刻的，而且是正确的。”但是，有一 天，波恩突然灵光一闪：他终于想起来这是什么了。海森堡