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的坚冰，至少给隐变量从荆棘中 艰难地开辟出了一条道路。不管怎么样，隐变量理论在原则上毕竟是可能的，那么，我们 是不是至少还保有一线希望，可以发展出一个完美的隐变量理论，使得我们在将来的某一 天得以同时拥有一个确定、实在，而又拥有定域性的温暖世界呢？这样一个世界，不就是 爱因斯坦的终极梦想吗？ 1928年7月28日，距离量子论最精彩的华章——不确定性原理的谱写已经过去一年有 余。在这一天，约翰？斯图尔特？贝尔（John Stewart Bell）出生在北爱尔兰的首府贝尔法 斯特。小贝尔在孩提时代就表现出了过人的聪明才智，他在11岁上向母亲立志，要成为一 名科学家。16岁时贝尔因为尚不够年龄入读大学，先到贝尔法斯特女王大学的实验室当了 一年的实习工，然而他的才华已经深深感染了那里的教授和员工。一年后他顺理成章地进 入女王大学攻读物理，虽然主修的是实验物理，但他同时也对理论物理表现出非凡的兴趣 。特别是方兴未艾的量子论，它展现出的深刻的哲学内涵令贝尔相当沉迷。 贝尔在大学的时候，量子论大厦主体部分的建设已经尘埃落定，基本的理论框架已经 由海森堡和薛定谔所打造完毕，而玻尔已经为它作出了哲学上最意味深长的诠释。20世纪 物理史上最激动人心的那些年代已经逝去，没能参予其间当然是一件遗憾的事，但也许正 是因为这样，人们得以稍稍冷静下来，不致于为了那伟大的事业而过于热血沸腾，身不由 己地便拜倒在尼尔斯？玻尔那几乎不可抗拒的个人魔力之下。贝尔不无吃惊地发现，自己 并不同意老师和教科书上对于量子论的正统解释。海森堡的不确定性原理——它听上去是 如此具有主观的味道，实在不讨人喜欢。贝尔想要的是一个确定的，客观的物理理论，他 把自己描述为一个爱因斯坦的忠实追随者。 毕业以后，贝尔先是进入英国原子能研究所（AERE）工作，后来转去了欧洲粒子中心 （CERN）。他的主要工作集中在加速器和粒子物理领域方面，但他仍然保持着对量子物理的 浓厚兴趣，在业余时间里密切关注着它的发展。1952年玻姆理论问世，这使贝尔感到相当 兴奋。他为隐变量理论的想法所着迷，认为它恢复了实在论和决定论，无疑迈出了通向那 个终极梦想的第一步。这个终极梦想，也就是我们一直提到的，使世界重新回到客观独立 ，优雅确定，严格遵守因果关系的轨道上来。贝尔觉得，隐变量理论正是爱因斯坦所要求 的东西，可以完成对量子力学的完备化。然而这或许是贝尔的一厢情愿，因为极为讽刺的 是，甚至爱因斯坦本人都不认同玻姆！ 不管怎么样，贝尔准备仔细地考察一下，对于德布罗意和玻姆的想法是否能够有实际 的反驳，也就是说，是否真如他们所宣称的那样，对于所有的量子现象我们都可以抛弃不 确定性，而改用某种实在论来描述。1963年，贝尔在日内瓦遇到了约克教授，两人对此进 行了深入的讨论，贝尔逐渐形成了他的想法。假如我们的宇宙真的是如爱因斯坦所梦想的 那样，它应当具有怎样的性质呢？要探讨这一点，我们必须重拾起爱因斯坦昔日与玻尔论 战时所提到的一个思想实验——EPR佯谬。 要是你已经忘记了EPR是个什么东西，可以先复习一下我们史话的8…4。我们所描述的 实际上是经过玻姆简化过的EPR版本，不过它们在本质上是一样的。现在让我们重做EPR实 验：一个母粒子分裂成向相反方向飞开去的两个小粒子A和B，它们理论上具有相反的自旋 方向，但在没有观察之前，照量子派的讲法，它们的自旋是处在不确定的叠加态中的，而 爱因斯坦则坚持，从分离的那一刻起，A和B的状态就都是确定了的。 我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分 别到来（比方说，甲在人马座的方向，乙在双子座的方向）。在某个按照宇宙标准时间所约 好了的关键时刻（比方说，宇宙历767年8月12日9点整，听起来怎么像银英传，呵呵），两 人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么，正如我们已经讨论过的，因为要保 持总体上的守恒，这两个自旋必定相反，不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上 测量到A的自旋为正（＋），那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负（…） ！ 换句话说，A和B——不论它们相隔多么遥远——看起来似乎总是如同约好了那样，当 A是＋的时候B必定是…，它们的合作率是100％！在统计学上，拿稍微正式一点的术语来说 ，（A＋，B…）的相关性（correlation）是100％，也就是1。我们需要熟悉一下相关性这个概 念，它是表示合作程度的一个变量，假如A和B每次都合作，比如A是＋时B总是…，那么相 关性就达到最大值1，反过来，假如B每次都不和A合作，每当A是＋是B偏偏也非要是＋， 那么（A＋，B…）的相关率就达到最小值…1。当然这时候从另一个角度看，（A＋，B＋）的相 关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗，它的取值和A毫无关系，显得完全随机，那么 B就和A并不相关，相关性是0。 在EPR里，不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定，最后的结果是肯定的：在同 一个方向上要么是（A＋，B…），要么是（A…，B＋），相关性是1。但是，这是在同一方向上 ，假设在不同方向上呢？假设甲沿着x轴方向测量A的自旋，乙沿着y轴方向测量B，其结果 的相关率会是如何呢？冥冥中一丝第六感告诉我们，决定命运的时刻就要到来了。 实际上我们生活在一个3维空间，可以在3个方向上进行观测，我们把这3个方向假设 为x，y，z。它们并不一定需要互相垂直，任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的 方向无非是正负两种可能，那么在3个方向上无非总共是8种可能（把每个方向想像成一根 爻，那么组合结果无非是8个卦）。 x y z ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ … ＋ ＋ … … … ＋ ＋ … ＋ … … … ＋ … … … 对于A来说有8种可能，那么对于A和B总体来说呢？显然也是8种可能，因为我们一旦 观测了A，B也就确定了。如果A是（＋，＋，…），那么因为要守恒，B一定是（…，…，＋）。 现在让我们假设量子论是错误的，A和B的观测结果在分离时便一早注定，我们无法预测， 只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系，我们假设这个隐变量是H ，它可以取值1…8，分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设，对应于每一种可能性 ，其出现的概率分别是N1，N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总表 ： Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率 ＋ ＋ ＋ … … … N1 ＋ ＋ … … … ＋ N2 ＋ … ＋ … ＋ … N3 ＋ … … … ＋ ＋ N4 … ＋ ＋ ＋ … … N5 … ＋ … ＋ … ＋ N6 … … ＋ ＋ ＋ … N7 … … … ＋ ＋ ＋ N8 上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到A在x，y，z三 个方向上的自旋都为＋，而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为…，这种结果出现的 可能性是N1。因为观测结果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，这个各位都可以理解 吧？ 现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方 向，在这个方向上，（Ax＋，Bx…）的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合 两种情况之一：当在x方向上A为＋而B同时为…，或者A不为＋而B也同时不为…，如果这样 ，它便符合我们的要求，标志着对（Ax＋，Bx…）的合作态度，于是我们就加上相应的概率 。相反，如果在x上A为＋而B也同时为＋，或者A为…而B也为…，这是对（Ax＋，Bx…）组合的 一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。 从上表可以看出，前4种可能都是Ax为＋而Bx同时为…，后4种可能都是Ax不为＋而Bx 也不为…，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所 以（Ax＋，Bx…）的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我 们要计算（Ax＋，Bx＋）的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是…N1… N2………N8＝…1。 接下来我们要走得远一点，A在x方向上为＋，而B在y方向上为＋，这两个观测结果的 相关性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合Ax 为＋以及By为＋，或者Ax不为＋以及By也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去 。让我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用Pxy来表示： Pxy＝…N1…N2＋N3＋N4＋N5＋N6…N7…N8 嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算Pxz，也就是Ax为＋同时Bz为＋的相关： Pxz＝…N1＋N2…N3＋N4＋N5…N6＋N7…N8 再来，这次是Pzy，也就是Az为＋且By为＋： Pzy＝…N1＋N2＋N3…N4…N5＋N6＋N7…N8 好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把Pxz减去Pzy再取绝对值： ｜Pxz…Pzy｜＝｜…2N3＋2N4＋2N5…2N6｜＝2 ｜N3＋N4…N5…N6｜ 这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值， 我们有关系式｜x…y｜≤｜x｜＋｜y｜，所以套用到上面的式子里，我们有： ｜Pxz…Pzy｜＝2 ｜N3＋N4…N5…N6｜≤2（｜N3＋N4｜＋｜N5＋N6｜） 因为所有的概率都不为负数，所以2（｜N3＋N4｜＋｜N5＋N6｜）＝2（N3＋N4＋N5＋N6）。最 后，我们还记得N1＋N2＋。。。＋N8＝1，所以我们可以从上式中凑一个1出来： 2（N3＋N4＋N5＋N6）＝1＋（…N1…N2＋N3＋N4＋N5＋N6…N7…N8） 看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是Pxy吗？所以我们得到最终的结果 ： ｜Pxz…Pzy｜≤1＋Pxy 恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的， 就是名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这 个宇宙的终极命运作出最后的判决。 （我们的证明当然是简化了的，隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一 个连续函数。即使如此，只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来，各位有兴趣的 可以动手一试。）
第十一章 上帝的判决一
castor_v_pollux
一 ｜Pxz…Pzy｜≤1＋Pxy 嗯，这个不等式看上去普普通通，似乎不见得有什么神奇的魔力，更不用说对于我们 宇宙的本质作出终极的裁决。它真的有这样的威力吗？
我们还是先来看看，贝尔不等式究竟意味着什么。我们在上一章已经描述过了，Pxy 代表了A粒子在x方向上为＋，而同时B粒子在y方向上亦为＋这两个事件的相关性。相关性 是一种合作程度的体现（不管是双方出奇地一致还是出奇地不一致都意味着合作程度很高） ，而合作则需要双方都了解对方的情况，这样才能够有效地协调。在隐变量理论中，我们 对于两个粒子的描述是符合常识的：无论观察与否，两个粒子始终�