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近代基于统计学理的分子学说业已相当发展,足为宏观的连续介体力学导向
一个新的领域。在另一方面,连续流体的概念提供了一个理论性模型,便于对物
理学某些部门作出数学分析。例如近年创始的为原子核所作的液体模型,核中包
括有粒子和中子。根据这些观点,作者认为第二定律的含义可以伸展如次。
在独立系统的物理中,在给定的初始与边界下,所有相互作用着的分子总是
这样地运动着,使整体总机械能转化为热能的能量变率随时产生着全系统的一个 最大的熵。
同样,在勃朗运动里,浸在液体中的宏观微粒,由于和液体分子相撞所造成
的内部热震变,总是表现着一种随机性的运动。由于这种运动明显的不规则性,
这一问题从来都是按现象的偶然性处理的。另方面,设想每一微粒的运动可能以
拉格朗奇坐标来表达,那么,最大总热能转化率的第二定律,原则上,对第一微
粒可以各按其片面的最大,提供一个偏微分方程。所有这些方程的联解可从现象
的必然性定出各微粒的运动向量。这样,对勃朗运动的随机分析,便能完全地概
括出两种对立的表达方式,组成了宇宙间基本辩证法则中一组对立的统一。
二、流体力学的第二定律
在流体力学里,无磁极液体在不可压缩情形下的质量和能量守恒定律(第一 类定律)是分别以拉泼拉斯连续方程
j
=? (U
?X i
+ u j
) = 0
(7)
和纳芙叶一司笃克斯运动方程
i
=? (U
?t i
+ u ) + (U
+ u j
)=? (U
j
i
?X i
i
+ u )
14
1 2
?
= X i
? ?
(P + p) + v (U
i
2 i
+ u )
? ?X i
?X j
(i = 1;
2; 3)
(8)
描述的。式中 Ui +ui 或 Uj +uj 代表流速场的各卡氏坐标分速,其中平均流速场 Ui =Ui
(Xi ; t)为空间位置 Xi 和时程 t 的函数,紊流脉动 ui 为相同变数的三个随机函
数,其均值皆为零。同样,P+p 为具有流体恒定密度 ? 的压力场。Xi 为体积力场
的分加速度,v 为运动学粘度。全以标准卡氏坐标符号表示。 上列各式可以分成两部分。关于平均流的是
?U
= j = 0
?X j
(9)
?U i + U
?U i = X
1 ?P ? 2U ?
2
i j
? + v i ? u u
i
和 ?t i
?X j
? ?X i
?X j
?X j
(i = 1;
2; 3)
(10)
最后一项 —
ui u j
= ? ij 代表由紊流脉动所兴起的、作用在平均流上的雷诺应力。
多了这项,就添了些未知数,致使平均运动的四个方程不足以定出四个未知数 P
和 Ui 。
紊流脉动的连续方程和动量方程是
?u
= j = 0
?X j
j
和 ?ui + u
j
?ui + u
?
?U i + ?ui u j ?ui u j
(11)
?t ?X j
?X j
?X j
?X j
1 ?p
? 2 u
= ? + v i
( j = 1;
2; 3)
(12)
2
? ?X j
?X j
15
由此可见,这一组数式是不定性的,任何紊流问题安全的数解超过了近代计
算机的能力,致使紊流的分析在很大程度上依靠试验。
更有进者,这些公式是应用在某一空间 Xi 和时程 t 的流体中极小的宏观体积
dX1 dX2 dX3 上的。当流动时,所有这样的小体积是在孤立系统整个流体中在给定
的初始和边界条件下相互约束的。若可能积分,则当积分之前,必先定出全系统
下端控制断面的流程位置 xC 及在明槽中从 xC 处水面高程 ybm 起始的水面线,或
管流中从 xC 处压力 PC 起始的沿程压力线。(以下有时用 x; y; z 来代表 Xi )。下端
断面 xC 处不同的控制,亦即不同的槽底高程 ybc 或压力 PC ,虽然同样应用两个恒
定定律计算,会对上述产生不同结果的流速和压力。所以,诸守恒定律虽属必需,
但不仅由于公式联解之困难,且仍不足以完全地描述流体运动的现象。
在明槽流中,若槽底坡降向下游渐增,流到某一位置总会有一个控制断面,
那里的平均流速等于坡速,从此以下流态变为射流,各质点好象分散似地个别流
出。这个断面就是独立系统缓流整体的下端断面,其中各点的流速皆小于波速, 而压力则三向齐等。
兹将流体动力学第二定律,即最大能量消散率定律申说如次。
流体或参有固体的多种流体在一独立系统内,在给定初始或边界条件下流动
时,在任何时刻的密度、速度和压力总是这样地分布,使得系统整体的能量消散 率随时为一最大值。
能量消散率,亦即每单位质量当时程 t 机械能转化为热能的变率是'1 '
?E + ??
?U
1
??
v
= ?? i
?
?
j
2
?U ?
+ ?
?
? ?u
?
j
+ ? i
j
2
?u ? ?
+ ? ?
j
(13)
?t ?t
2 ?? ?X j
?X i ?
? ?X
?
?
i ? ?
其紊流的整体均值则为
?
?E ??
1 ? ?U
2
?U ?
?
j
? ?u
?
?X
2
?u ?
+ = v?? i + i ?
+ ? i + = j ? ?
(14)
?
?t ?t
2 ?? ?X
??
? i
?X i ?
? ?X
?X ? ?
?
?E ??
式中 为由于 平均流速 梯 度、 为由于 紊动流速 梯 度每单位 质 量的能量 消 耗
?t ?t
率。前者较之后为量甚微,可以忽略不计,因此消散率可简单地表达如下:
16
?? 1 ?u
2
? ?u ?
?X
?X
= v? i + = j ?
(15)
?
j
?t 2
? ?
i ?
其紊流的整体均值则为
?? 1 ?u
2
? ?u ?
?X
?X
= v? i + = j ?
(16)
?
j
?t 2
? ?
j ?
?EMT ?
?? M ?
按照流体力学第二定律,独立系统整体总的能量消散率
?t
大:
? =
? ?t
? 随时为最
?
? E MT ?
? ? M =
O
?y
O
?X
?Z
2
X C y bm
Z m ? ?
? dzdydx
? t ? t
bO ? t
? X C
y bm
Z m ? ? u
? u ?
? i
= j ?
dzdydx
= 最大(17)
= ? X ? y ?Z ? ?
+ ? ?
2 O bO
O ? x j
x i ?
前列各式中粘度 ? = ?? ,注脚 O 及 m 表示积分极限。此式若无横线也适用于任
一时刻的能量消散率。
按最大极限的必需条件:
? ?E ?
d ? MT ? = 0
(18)
? ?t ?
在给定的边界条件里,明槽的立体几何表面可以下式之一表示:
b
b
zb = zb
(x;
y ),或 y
b
= yb
(x; z )
(19)
式中 yb 为槽面某点的铅直坐标,zb 为这点的槽宽,明槽的深水线纵剖面可以下式
表示:
ybo = ybo ( x;
zb = 0) = ybo ( x)
(20)
从式(18)可得三偏微分方程:
? 2 E
? 2 E
? 2 E
MT = 0 , MT = 0 ,及 MT = 0
(21)
?xc ?t
?ybm ?t
?zbm ?t
17
y bm
j
z b ( x ; y b ) ? ? u
x c
2
?
? u ?
或 ? ?
? i +
= j ?
dzdy = 0
?
y bo ( x ) o
bm
? ? x
?
b b ? ? u
? x j ?
2
? ?
x = 0
y bm
z x ( y ; z
) ? i
u j ?
j
?o ?o
? ? x
+
? x j
? dxdz
?
2
= 0
y = y b o
z bm
(22)
?
c bm b ? u ? ?
x y ( x ; z
) ? i
u j ?
bo
和 ?o ?y
?
?
2
bm
? x j
+
?
? x j ?
dydx
= 0
z = 0
在原则上,这三公式可解出三个隐函数,其中一个是重复的。
1
bm
f (y
; xc
) = 0 ,
f ( y
; xc
) = 0
(23)
从式(19)xC 处的边界条件给出另一式:
c
bm
zbm
= zbm
(x ; y )
(24)
最后,式(23)和(24)之联解,将在原则上定出控制断面的位置 xC ,以及那里
的水面高程 ybm 和水面宽 zbm 等。
在二元流中,式(15)、(16)及(17)将分别简化为下列形式,这里采用了 普通的符号:
?? 1
? ? ?u ? 2
2
? ?v ?
2
2
? ?u
?v ? ?
= ? ?2? ?
+ 2? ?
+ ? + ? ?
(25)
?t 2
?? ? ?x ?
? ?y ?
? ?y
?x ? ??
?? 1 ??
?u ? 2
2
? ?v ?
? ?u
?v ? ?
= ? ?? 2 ?
+ ? 2 ?
+ ? + ? ?
(26)
?t 2
???
?x ?
? ?y ?
? ?y
?x ? ??
?? ?
xc ybm ??
?u ? 2
2
2
? ?v ?
? ?u
?v ? ?
及 M = ? ?
?? 2 ?
+ ? 2 ?
+ ? + ?
?dydx = 最大
(27)
?t 2
xb ybo
???
?x ?
? ?y ?
? ?y
?x ? ??
18
三、应用水力学第二定律
前面的分析讨论了流体力学的基础理论。从这里可以见到,虽然那些偏微分
和积分方程实际上是不可能联解的,但由此可知,为了解答任何流动问题,除了
第一类守恒定律之外,存在着第二定律,它是不可缺少的。在某些情形里,例如
在一个水宽超过五倍水深的宽槽里,一个遵从边界约略性的剪力层二元流,就可 采用大大简化了的式子。
现在分析 应 用水力学 中 一个最简 单 的一元明 槽 流问题。 连 续方程的 形 式如
下:
?Q ?A ?U dA
+ = 0 ,或 A + = 0
(28)
?x ?t
?x dt
式中 Q 表示流程 x1 时程 t 的流率,A 横断面积,U 平均流速,运动方程的形式如
下:
2 2
dU ?U ?U U ?y U
= + U = gS ? g = ? g bm ? g
(29)
dt ?t ?x
C 2 R
?x C 2 R
?(h + U 2 / 2 g ) U 2
1 ?U
或 = Sb ? ?
(30)
?x C 2 R
g ?t
?
式中 S 为水面坡降, S = ? ?ybm = S
?h
, S
= ?ybo 为底坡,h 为水深, y 水
?x b ?x
b ?x bm
U 2
面高程, ybm = ybo + h ,R 水力半径,C 希舍糙度系数。 2 这一项相应于纳芙
C R
叶一司笃克斯公式中的能量消耗率。
?U
在恒定流情形下, = 0 。对于一个独立系统整体沿着流程 x=0 至 xC 积分
?t
后,这一运动方程就成为表示单位质量的能量的伯努力利方程(见图):
?0
c
U 2 x U 2
h + +
2g
2
=C 2 Rdx = ? ybo ( xc ) + 常数
(31)
xc U
式中 ? dx 这一项代表总的水头损失,槽底高程, y 只是沿程 x 的函数(见
0 C 2 R bo
式 20),在 xc 处 ybo ( xc ) 也是常数。
19
连续介体动力学第二定律要求,h 和 U 2 / 2g 这样地组合使得总的水头损失为
最大:
2
xc U
?0 =C 2 Rdx = 最大
(32)
式(31)右边既为常数,则在各种 h 和 U 2 / 2g 的不同组合中,只有一种组合会使
那个代表