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近代基于统计学理的分子学说业已相当发展，足为宏观的连续介体力学导向
一个新的领域。在另一方面，连续流体的概念提供了一个理论性模型，便于对物
理学某些部门作出数学分析。例如近年创始的为原子核所作的液体模型，核中包
括有粒子和中子。根据这些观点，作者认为第二定律的含义可以伸展如次。
在独立系统的物理中，在给定的初始与边界下，所有相互作用着的分子总是
这样地运动着，使整体总机械能转化为热能的能量变率随时产生着全系统的一个 最大的熵。
同样，在勃朗运动里，浸在液体中的宏观微粒，由于和液体分子相撞所造成
的内部热震变，总是表现着一种随机性的运动。由于这种运动明显的不规则性，
这一问题从来都是按现象的偶然性处理的。另方面，设想每一微粒的运动可能以
拉格朗奇坐标来表达，那么，最大总热能转化率的第二定律，原则上，对第一微
粒可以各按其片面的最大，提供一个偏微分方程。所有这些方程的联解可从现象
的必然性定出各微粒的运动向量。这样，对勃朗运动的随机分析，便能完全地概
括出两种对立的表达方式，组成了宇宙间基本辩证法则中一组对立的统一。
二、流体力学的第二定律
在流体力学里，无磁极液体在不可压缩情形下的质量和能量守恒定律（第一 类定律）是分别以拉泼拉斯连续方程
j
=？ （U
？X i
＋ u j
） = 0
（7）
和纳芙叶一司笃克斯运动方程
i
=？ （U
？t i
＋ u ） ＋ （U
＋ u j
）=？ （U
j
i
？X i
i
＋ u ）
14
1 2
？
= X i
？ ？
（P ＋ p） ＋ v （U
i
2 i
＋ u ）
？ ？X i
？X j
（i = 1；
2； 3）
（8）
描述的。式中 Ui ＋ui 或 Uj ＋uj 代表流速场的各卡氏坐标分速，其中平均流速场 Ui =Ui
（Xi ； t）为空间位置 Xi 和时程 t 的函数，紊流脉动 ui 为相同变数的三个随机函
数，其均值皆为零。同样，P＋p 为具有流体恒定密度 ？ 的压力场。Xi 为体积力场
的分加速度，v 为运动学粘度。全以标准卡氏坐标符号表示。 上列各式可以分成两部分。关于平均流的是
？U
= j = 0
？X j
（9）
？U i ＋ U
？U i = X
1 ？P ？ 2U ？
2
i j
？ ＋ v i ？ u u
i
和 ？t i
？X j
？ ？X i
？X j
？X j
（i = 1；
2； 3）
（10）
最后一项 —
ui u j
= ？ ij 代表由紊流脉动所兴起的、作用在平均流上的雷诺应力。
多了这项，就添了些未知数，致使平均运动的四个方程不足以定出四个未知数 P
和 Ui 。
紊流脉动的连续方程和动量方程是
？u
= j = 0
？X j
j
和 ？ui ＋ u
j
？ui ＋ u
？
？U i ＋ ？ui u j ？ui u j
（11）
？t ？X j
？X j
？X j
？X j
1 ？p
？ 2 u
= ？ ＋ v i
（ j = 1；
2； 3）
（12）
2
？ ？X j
？X j
15
由此可见，这一组数式是不定性的，任何紊流问题安全的数解超过了近代计
算机的能力，致使紊流的分析在很大程度上依靠试验。
更有进者，这些公式是应用在某一空间 Xi 和时程 t 的流体中极小的宏观体积
dX1 dX2 dX3 上的。当流动时，所有这样的小体积是在孤立系统整个流体中在给定
的初始和边界条件下相互约束的。若可能积分，则当积分之前，必先定出全系统
下端控制断面的流程位置 xC 及在明槽中从 xC 处水面高程 ybm 起始的水面线，或
管流中从 xC 处压力 PC 起始的沿程压力线。（以下有时用 x； y； z 来代表 Xi ）。下端
断面 xC 处不同的控制，亦即不同的槽底高程 ybc 或压力 PC ，虽然同样应用两个恒
定定律计算，会对上述产生不同结果的流速和压力。所以，诸守恒定律虽属必需，
但不仅由于公式联解之困难，且仍不足以完全地描述流体运动的现象。
在明槽流中，若槽底坡降向下游渐增，流到某一位置总会有一个控制断面，
那里的平均流速等于坡速，从此以下流态变为射流，各质点好象分散似地个别流
出。这个断面就是独立系统缓流整体的下端断面，其中各点的流速皆小于波速， 而压力则三向齐等。
兹将流体动力学第二定律，即最大能量消散率定律申说如次。
流体或参有固体的多种流体在一独立系统内，在给定初始或边界条件下流动
时，在任何时刻的密度、速度和压力总是这样地分布，使得系统整体的能量消散 率随时为一最大值。
能量消散率，亦即每单位质量当时程 t 机械能转化为热能的变率是＇1 ＇
？E ＋ ？？
？U
1
？？
v
= ？？ i
？
？
j
2
？U ？
＋ ？
？
？ ？u
？
j
＋ ？ i
j
2
？u ？ ？
＋ ？ ？
j
（13）
？t ？t
2 ？？ ？X j
？X i ？
？ ？X
？
？
i ？ ？
其紊流的整体均值则为
？
？E ？？
1 ？ ？U
2
？U ？
？
j
？ ？u
？
？X
2
？u ？
＋ = v？？ i ＋ i ？
＋ ？ i ＋ = j ？ ？
（14）
？
？t ？t
2 ？？ ？X
？？
？ i
？X i ？
？ ？X
？X ？ ？
？
？E ？？
式中 为由于 平均流速 梯 度、 为由于 紊动流速 梯 度每单位 质 量的能量 消 耗
？t ？t
率。前者较之后为量甚微，可以忽略不计，因此消散率可简单地表达如下：
16
？？ 1 ？u
2
？ ？u ？
？X
？X
= v？ i ＋ = j ？
（15）
？
j
？t 2
？ ？
i ？
其紊流的整体均值则为
？？ 1 ？u
2
？ ？u ？
？X
？X
= v？ i ＋ = j ？
（16）
？
j
？t 2
？ ？
j ？
？EMT ？
？？ M ？
按照流体力学第二定律，独立系统整体总的能量消散率
？t
大：
？ =
？ ？t
？ 随时为最
？
？ E MT ？
？ ？ M =
O
？y
O
？X
？Z
2
X C y bm
Z m ？ ？
？ dzdydx
？ t ？ t
bO ？ t
？ X C
y bm
Z m ？ ？ u
？ u ？
？ i
= j ？
dzdydx
= 最大（17）
= ？ X ？ y ？Z ？ ？
＋ ？ ？
2 O bO
O ？ x j
x i ？
前列各式中粘度 ？ = ？？ ，注脚 O 及 m 表示积分极限。此式若无横线也适用于任
一时刻的能量消散率。
按最大极限的必需条件：
？ ？E ？
d ？ MT ？ = 0
（18）
？ ？t ？
在给定的边界条件里，明槽的立体几何表面可以下式之一表示：
b
b
zb = zb
（x；
y ），或 y
b
= yb
（x； z ）
（19）
式中 yb 为槽面某点的铅直坐标，zb 为这点的槽宽，明槽的深水线纵剖面可以下式
表示：
ybo = ybo （ x；
zb = 0） = ybo （ x）
（20）
从式（18）可得三偏微分方程：
？ 2 E
？ 2 E
？ 2 E
MT = 0 ， MT = 0 ，及 MT = 0
（21）
？xc ？t
？ybm ？t
？zbm ？t
17
y bm
j
z b （ x ； y b ） ？ ？ u
x c
2
？
？ u ？
或 ？ ？
？ i ＋
= j ？
dzdy = 0
？
y bo （ x ） o
bm
？ ？ x
？
b b ？ ？ u
？ x j ？
2
？ ？
x = 0
y bm
z x （ y ； z
） ？ i
u j ？
j
？o ？o
？ ？ x
＋
？ x j
？ dxdz
？
2
= 0
y = y b o
z bm
（22）
？
c bm b ？ u ？ ？
x y （ x ； z
） ？ i
u j ？
bo
和 ？o ？y
？
？
2
bm
？ x j
＋
？
？ x j ？
dydx
= 0
z = 0
在原则上，这三公式可解出三个隐函数，其中一个是重复的。
1
bm
f （y
； xc
） = 0 ，
f （ y
； xc
） = 0
（23）
从式（19）xC 处的边界条件给出另一式：
c
bm
zbm
= zbm
（x ； y ）
（24）
最后，式（23）和（24）之联解，将在原则上定出控制断面的位置 xC ，以及那里
的水面高程 ybm 和水面宽 zbm 等。
在二元流中，式（15）、（16）及（17）将分别简化为下列形式，这里采用了 普通的符号：
？？ 1
？ ？ ？u ？ 2
2
？ ？v ？
2
2
？ ？u
？v ？ ？
= ？ ？2？ ？
＋ 2？ ？
＋ ？ ＋ ？ ？
（25）
？t 2
？？ ？ ？x ？
？ ？y ？
？ ？y
？x ？ ？？
？？ 1 ？？
？u ？ 2
2
？ ？v ？
？ ？u
？v ？ ？
= ？ ？？ 2 ？
＋ ？ 2 ？
＋ ？ ＋ ？ ？
（26）
？t 2
？？？
？x ？
？ ？y ？
？ ？y
？x ？ ？？
？？ ？
xc ybm ？？
？u ？ 2
2
2
？ ？v ？
？ ？u
？v ？ ？
及 M = ？ ？
？？ 2 ？
＋ ？ 2 ？
＋ ？ ＋ ？
？dydx = 最大
（27）
？t 2
xb ybo
？？？
？x ？
？ ？y ？
？ ？y
？x ？ ？？
18
三、应用水力学第二定律
前面的分析讨论了流体力学的基础理论。从这里可以见到，虽然那些偏微分
和积分方程实际上是不可能联解的，但由此可知，为了解答任何流动问题，除了
第一类守恒定律之外，存在着第二定律，它是不可缺少的。在某些情形里，例如
在一个水宽超过五倍水深的宽槽里，一个遵从边界约略性的剪力层二元流，就可 采用大大简化了的式子。
现在分析 应 用水力学 中 一个最简 单 的一元明 槽 流问题。 连 续方程的 形 式如
下：
？Q ？A ？U dA
＋ = 0 ，或 A ＋ = 0
（28）
？x ？t
？x dt
式中 Q 表示流程 x1 时程 t 的流率，A 横断面积，U 平均流速，运动方程的形式如
下：
2 2
dU ？U ？U U ？y U
= ＋ U = gS ？ g = ？ g bm ？ g
（29）
dt ？t ？x
C 2 R
？x C 2 R
？（h ＋ U 2 / 2 g ） U 2
1 ？U
或 = Sb ？ ？
（30）
？x C 2 R
g ？t
？
式中 S 为水面坡降， S = ？ ？ybm = S
？h
， S
= ？ybo 为底坡，h 为水深， y 水
？x b ？x
b ？x bm
U 2
面高程， ybm = ybo ＋ h ，R 水力半径，C 希舍糙度系数。 2 这一项相应于纳芙
C R
叶一司笃克斯公式中的能量消耗率。
？U
在恒定流情形下， = 0 。对于一个独立系统整体沿着流程 x=0 至 xC 积分
？t
后，这一运动方程就成为表示单位质量的能量的伯努力利方程（见图）：
？0
c
U 2 x U 2
h ＋ ＋
2g
2
=C 2 Rdx = ？ ybo （ xc ） ＋ 常数
（31）
xc U
式中 ？ dx 这一项代表总的水头损失，槽底高程， y 只是沿程 x 的函数（见
0 C 2 R bo
式 20），在 xc 处 ybo （ xc ） 也是常数。
19
连续介体动力学第二定律要求，h 和 U 2 / 2g 这样地组合使得总的水头损失为
最大：
2
xc U
？0 =C 2 Rdx = 最大
（32）
式（31）右边既为常数，则在各种 h 和 U 2 / 2g 的不同组合中，只有一种组合会使
那个代表