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乍看上去，无论逻辑推理和现实证据都支持礼节的观点。副总统的一票其实并不重要。打成平局的投票很少出现。最有可能出现平局的情况是，每一个参议员二择其一的可能性相等，且参与投票的参议员数目为偶数。这么看来，每12次投票可能包含1次平局。②
当然，参议员的实际投票与随机发生的情况相距甚远。只有当两党大致处于均势，或者出现了一个特别容易引起分歧的议题而使部分党派发生分裂时，副总统这一票才会计算在内。
② 或者对立派别的参议员看对方有几人缺席，己方也安排几人缺席。
最积极打破投票平局的副总统是美国首任副总统约翰·亚当斯（John
Adams）。他在8年任期里曾经29次打破平局。这并不出奇，因为他那时的参议院只有20名成员，与今天拥有100成员的参议院相比，出现平局的概率几乎高出3倍。实际上，在美国建国头200年间，总共只有222次机会让副总统投票。后来，理查德·尼克松（Richard
Nixon）在艾森豪威尔手下当副总统的时候成为最积极打破投票平局的副总统，总共投过8次打破平局的票，与此同时，19531961年期间，参议院总共做出了1229个决议。打破平局的投票次数下降同时反映了一个事实：两党体系更加稳固，很少出现一个可能引起党派分歧的议题。
不过，这么一个关于副总统的一票只有礼节意义的描述却有误导的性质。副总统这一票的影响力比其使用频率更为重要。仔细衡量一下，就会发现副总统这一票的重要性大致相当于任何一名参议员的投票。
一个理由在于，副总统的投票一般只在决定最重要和最具决定意义的议题时起作用。比如，老乔治·布什（Gee
Bush）作为副总统，曾经投票挽救了政府的化学武器计划（两次）和MX导弹计划。这表明我们应该更仔细地研究一张选票究竟何时才会起作用。
一张选票可能有两种效果：一是决定结果，二是成为影响胜利或失败比数的一种“声音”，却不能扭转结果。而在一个类似参议院这样的决策团体里，第一种效果更加重要。
为了说明副总统目前地位的重要性，我们设想副总统作为参议院主席得到了一张普通选票。什么时候这张选票会有更大的影响力呢？若是决定重要的议题，所有100名参议员都会设法参加。①假如这100名参议员形成了51对49或比数更加悬殊的两派，那么，无论副总统投什么票，结果都不会改变。结果取决于副总统这第101票的惟一机会在于，参议院分成了50对50的两派，就像现在这样，而只有副总统拥有惟一一张打破平局的选票。
① 对于一个参议员数目固定的参议院，出现50人投赞成票而另外50人投反对票的情况的最大概率等于（1/2）50 x （ 1/2）50
。用这个数目乘以从100人当中寻找50个支持者的方法总数，我们得到的结果大致等于1/12
。我们承认，上述关于副总统的选票影响力的描述，没有将现实的各方面情况考虑在内。这些情况当中，有一些可以削弱副总统的影响力，有一些则相反。一个参议员的影响力大部分源于他们在各个委员会的工作，而副总统并未参与这些委员会。但是另一方面，副总统还有总统的否决权撑腰。
我们关于副总统的投票的讨论，引出了一个应用范围更广泛的重要启示：任何人的选票只在这一票形成或打破平局的时候可以影响结果。设想不同情况下你的选票究竟有多重要。你在一场总统选举中究竟有多重要？在你们城市的市长选举中呢？在自己参加的俱乐部秘书长选举中呢？
就像参议院那样，若是每一个投票者二择其一的概率相等，那么，出现其他选民形成平局而要由你这一票决定胜负的概率就会达到最大值。数学计算显示，出现平局的概率与投票者数目的平方根成反比：投票者增加100万倍，出现平局的概率就会减少1000倍。在参议院，共有100名投票者，我们知道，在最容易形成平局的情况下出现平局的概率约为1/12
。而在有1亿选民参加的总统选举中，这一概率就会降低到1/12000。由于我们采用的是选举人团制度，你决定你所在州的选举人的投票结果的概率大大增加。不过，人口很少大致平均分成两派的事实却引出了相反的结果，哪怕一个候选人或另一个候选人的微小优势都能戏剧性地降低出现平局的概率。因此，你不妨认为这个1/12000的数字是你可以在一场总统选举中发挥影响的概率的一个乐观估计。鉴于这些情况，你究竟还值不值得花时间投票呢？
要想弄清这个问题，我们先举一个具体例子。假定有一个候选人叫做“软心肠先生”，他许诺要将最低工资从每小时3。50
美元提高为5。00美元，而另一个候选人叫做“硬心肠先生”，则反对提高最低工资。假定你恰好有一份只付最低工资的工作，每年工作2000小时，你希望可以在保住这份工作的前提下提高工资，那么，“软心肠先生”能为你的钱包带来每年3000美元的增幅，“硬心肠先生”则做不到。4年时间这个数字就会变成12000美元。不过，你这一票可以带来这个结果的可能性只有1/12000，因此你从你这一票可能得到的收益只有1美元。假如你必须牺牲哪怕20分钟的有薪工作时间才能完成投票，那么你的投票并不值得。调查发现，大多数人认为他们闲暇时间的价值只有有薪工作时间的一半。因此，若是闲暇时间参加投票，超过40分钟就不值得了。
即便你不大可能改变投票结果，你仍然可以将你的声音加人到群众中去。不过，会不会有人听到呢？虽然1亿比0是一个一边倒的胜利，却没有一个明显的分界线，说明什么时候只要一张选票改变立场就会导致一边倒，从而取得胜利。还有，如果有足够多的人改变立场，一边倒的局势就会转为平局，继而转为失败，最后变成完全相反的一边倒。这个缺少分界线的理论可以追溯到希腊哲学家芝诺（Zeno）
，是他提出了这个有关一次取一颗沙砾而聚沙成塔的似是而非的理论。没有一颗沙砾可能将无塔变成有塔，这似乎不错，然而，足够的沙砾也可以将一个鼹鼠丘变成一座小山。一张选票好比一颗沙砾。很难想像单单这额外的一票怎么能够扭转别人对结果的看法。①①
哪怕某一个人对于结果的看法只是发生轻微改变，对一个广大团体施加的一个微小影响也仍然有可能变得大到足以起某种关键作用的地步。
这里我们看到，个人收益与成本的计算不是激励人们投票的决定性因素。不过，为了维持民主的正常运转，人们参加投票至关重要。这就是我们需要社会调节的原因。从小学的公民课程到选举前夕呼唤公民的爱国热情，社会总是想方设法使大家出来参加投票——即便每一个投票者本人对选举结果没有任何重大影响。②
在爱国热情并不足够的时候，法律就会要求人们参加投票，这正是发生在包括澳大利亚在内的其他几个国家的情况。
②
决定选举结果的一个更加廉价也可能更具代表性的方法大概是搞一个民意调查。现在的做法是搞一个冠冕堂皇的民意调查，任何人只要愿意参加就可以参加。统计学理论告诉我们，假如1万人的随机抽样调查的结果是一个候选人占有5％的优势（即获得5250张或更多张选票），那么，哪伯最后有1亿人投票，其投票结果发生逆转的概率也会不足l比100万。假如投票结果再接近一点，我们将不得不扩大民意调查的规模。虽然民意调查可能大大降低投票成本，但民意调查被滥用的可能性也很高。选择一个随机的投票者是一个难上加难的问题。
2 ．中点的选民
到目前为止，我们的重点一直放在具有两种选择的选举上，这一类型的选举除了投票（赞成）和不投票（赞成）两种选择外，再也没有什么策略可言。假如你决定投票，你就应该把票投给你最喜欢的那个候选人。这是因为，你的选票将在打破得票均势之际发挥最大作用，你当然希望自己的一票真实地反映你的偏好。③
对于具有两种以上选择的选举，需要决定的则是要不要投票以及投谁一票。这个时候，把票投给你最喜欢的那个候选人的策略不再是正确的选择。
③
这里再次出现了一种情况，即你可能会在乎候选人取得多大的胜利。具体而言，你大概希望你的候选人胜出，但只要胜出一点即可（出于诸如克制一下他的妄自尊大脾气之类的原因）。若是这样，你大概愿意在你相信他一定会赢的时候，选择把票投给他的对手。
在1984年的民主党党魁选举上，杰西·杰克逊（Jesse
Jackson）的支持者们遇到了利用选票发送信号的问题。他们早就估计到杰西不可能胜出。民意调查显示，加里·哈特（Gary
Hart）和沃尔特·蒙代尔遥遥领先。这时出现了一种激励，要求选民把票投给遥遥领先者，以免浪费自己的选票。这个问题到了1988年争取民主党总统候选人提名的时候更是变本加厉，因为当时有7个候选人竞争民主党总统候选人的资格。支持者们不想把自己的选票或竞选资助款项浪费在毫无希望的候选人身上。这么一来，那些宣布谁正领先的民意调查和媒体报道，就有了左右局势、使自己的预言变成现实的真正潜力。
还有一个理由可以说明选票为什么未必反映偏好。要想避免你的选票淹没在众人的选票里，一个办法就是别出心裁：选择一个极端的立场，与众人划清界限。谁若是认为这个国家过分自由化，可以把票投给一个温和保守派候选人。要么，她也可以转向极右派，支持林登·拉罗奇（Lyndon
LaRouche）。好比候选人作出妥协，采取中间立场那样，使自己的选票显得比实际意愿更极端可能符合某些选民的利益。这种战术只在一定程度范围内有效。假如你走过了头，大家会认为你是一个想入非非的疯子，结果没人理睬你的意见。关键在于，在能与理性外表相适应的范围内选择最极端的一种立场。
为了更确切地说明这一点，假定我们可以用0到100的横轴表示从自由派到保守派的不同程度，并将各候选人置于这条横轴上。青年斯巴达克联盟奉行极左路线，位于0附近，而林登·拉罗奇则采取最保守的立场，接近100
。选民通过在这条横轴选定一点表达自己的偏好。假定选举的胜者就是位于全体选民立场的中间值的候选人。你可以这么看待这一情况：通过谈判和妥协，领先的候选人的立场总会选在反映整个选举的中间值的一点上。讨价还价的本质在于提出折中方案解决分歧。
现在，假设你自己就是一个中间派：假如你能控制大局，你倾向于选择一个位于50的候选人。但结果可能是这个国家其实比中间值稍微倾向保守派那边一点。假如没有你，平均值可能达到60。具体而言，你就是每100个选民当中被抽出来参加民意调查，确定中间立场的那一个人。
假如你说出自己的真实偏好，候选人会调整自己的立场，转向（99x60＋50）/10059。9。反过来，假如你夸大自己的主张，说你想要0，那么最后结果就会变成59。4。通过夸大你的主张，你对候选人的立场的影响力提高了5倍。在这里，为维护自由主义而采取极端做法不是什么歪门邪道。
当然，你不是惟一一个�